學(xué)習(xí)使用卡諾圖
卡 諾 圖 （Kamaug hM ap )是將所有命題的真假組合以二維表的形式表示的圖。
結(jié)構(gòu)特點(diǎn)
卡諾圖中最小項的排列方案不是唯一的，變量的坐標(biāo)值0表示相應(yīng)變量的反變量，1表示相應(yīng)變量的原變量。各小方格依變量順序取坐標(biāo)值，所得二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即相應(yīng)最小項的下標(biāo)i。
在五變量卡諾圖中，為了方便省略了符號"m"，直接標(biāo)出m的下標(biāo)i 。
歸納起來，卡諾圖在構(gòu)造上具有以下兩個特點(diǎn):
☆ n個變量的卡諾圖由2^n個小方格組成，每個小方格代表一個最小項;
☆ 卡諾圖上處在相鄰、相對、相重位置的小方格所代表的最小項為相鄰最小項。
可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項。兩個相鄰最小項可以合并為一個與項并消去一個變量。
化簡函數(shù)
1.幾個定義蘊(yùn)涵項:在函數(shù)的"與-或"表達(dá)式中,每個"與"項被稱為該函數(shù)的蘊(yùn)涵項(Implicant)。
顯然，在函數(shù)卡諾圖中，任何一個1方格所對應(yīng)的最小項或者卡諾圈中的2m個1方格所對應(yīng)的"與"項都是函數(shù)的蘊(yùn)涵項。
質(zhì)蘊(yùn)涵項:若函數(shù)的一個蘊(yùn)涵項不是該函數(shù)中其他蘊(yùn)涵項的子集，則此蘊(yùn)涵項稱為質(zhì)蘊(yùn)涵項(Prime Implicant)，簡稱為質(zhì)項。
顯然，在函數(shù)卡諾圖中，按照最小項合并規(guī)律，如果某個卡諾圈不可能被其他更大的卡諾圈包含，那么，該卡諾圈所對應(yīng)的"與"項為質(zhì)蘊(yùn)涵項。
在函數(shù)卡諾圖中，若某個卡諾圈包含了不可能被任何其他卡諾圈包含的1方格，那么，該卡諾圈所對應(yīng)的"與"項為必要質(zhì)蘊(yùn)涵項。
2.求函數(shù)最簡"與-或"表達(dá)式
(1)一般步驟:
第一步:作出函數(shù)的卡諾圖。
第二步:在卡諾圖上圈出函數(shù)的全部質(zhì)蘊(yùn)涵項。按照卡諾圖上最小項的合并規(guī)律，對函數(shù)F卡諾圖中的1方格畫卡諾圈。為了圈出全部質(zhì)蘊(yùn)涵項，畫卡諾圈時在滿足合并規(guī)律的前題下應(yīng)盡可能大，若卡諾圈不可能被更大的卡諾圈包圍，則對應(yīng)的"與"項為質(zhì)蘊(yùn)涵項。
第三步:從全部質(zhì)蘊(yùn)涵項中找出所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項。在卡諾圖上只被一個卡諾圈包圍的最小項被稱為必要最小項，包含必要最小項的質(zhì)蘊(yùn)涵項即必要質(zhì)蘊(yùn)涵項。為了保證所得結(jié)果無一遺漏地覆蓋函數(shù)的所有最小項，函數(shù)表達(dá)式中必須包含所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項。
第四步:求出函數(shù)的最簡質(zhì)蘊(yùn)涵項集。若函數(shù)的所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項尚不能覆蓋卡諾圖上的所有1方格，則從剩余質(zhì)蘊(yùn)涵項中找出最簡的所需質(zhì)蘊(yùn)涵項，使它和必要質(zhì)蘊(yùn)涵項一起構(gòu)成函數(shù)的最小覆蓋。歸納起來，卡諾圖化簡的原則是:
☆ 在覆蓋函數(shù)中的所有最小項的前提下，卡諾圈的個數(shù)達(dá)到最少。
☆ 在滿足合并規(guī)律的前提下卡諾圈應(yīng)盡可能大。
☆ 根據(jù)合并的需要，每個最小項可以被多個卡諾圈包圍。
3.求函數(shù)的最簡"或-與"表達(dá)式
當(dāng)需要求一個函數(shù)的最簡"或-與"表達(dá)式時，可采用"兩次取反法"。具體如下:
☆ 先求出函數(shù)F的反函數(shù)F的最簡"與-或"表達(dá)(合并卡諾圖上的0方格);
☆ 然后對F的最簡"與-或"表達(dá)式取反，從而得到函數(shù)F的最簡"或-與"表達(dá)式。
卡諾圖化簡邏輯函數(shù)具有方便、直觀、容易掌握等優(yōu)點(diǎn)。但依然帶有試湊性。尤其當(dāng)變量個數(shù)大于6時，畫圖以及對圖形的識別都變得相當(dāng)復(fù)雜。
表示
1.給定邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)"與-或"表達(dá)式當(dāng)邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)"與-或"表達(dá)式時，只需在卡諾圖上找出和表達(dá)式中最小項對應(yīng)的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。
2.邏輯函數(shù)為一般"與-或"表達(dá)式
當(dāng)邏輯函數(shù)為一般"與-或"表達(dá)式時，可根據(jù)"與"的公共性和"或"的疊加性作出相應(yīng)卡諾圖。
填寫該函數(shù)卡諾圖時，只需在4變量卡諾圖上依次找出和"與項"AB、CD、A·BC對應(yīng)的小方格填上1，便可得到該函數(shù)的卡諾圖。
當(dāng)邏輯函數(shù)表達(dá)式為其他形式時，可將其變換成上述形式后再作卡諾圖。
為了敘述的方便，通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格，填0的小方格稱為0方格。0方格有時用空格表示。
合并規(guī)律
1.卡諾圖的一個重要特征是，它從圖形上直觀、清晰地反映了最小項的相鄰關(guān)系。2.四個小方格組成一個大方格、或組成一行(列)、或處于相鄰兩行(列)的兩端、或處于四角時，所的表的最小項可以合并，合并后可消去兩個變量。
3.八個小方格組成一個大方格、或組成相鄰的兩行(列)、或處于兩個邊行(列)時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去三個變量。
至此，以3、4變量卡諾圖為例，討論了2，4，8個最小項的合并方法。依此類推，不難得出n個變量卡諾圖中最小項的合并規(guī)律。
歸納起來，n個變量卡諾圖中最小項的合并規(guī)律如下:
(1)卡諾圈中小方格的個數(shù)必須為2^m個，m為小于或等于n的整數(shù)。
(2)卡諾圈中的2^m個小方格有一定的排列規(guī)律，具體地說，它們含有m個不同變量，(n-m)個相同變量。
(3)卡諾圈中的2^m個小方格對應(yīng)的最小項可用(n-m)個變量的"與"項表示，該"與"項由這些最小項中的相同變量構(gòu)成。
(4)當(dāng)m=n時，卡諾圈包圍了整個卡諾圖，可用1表示，即n個變量的全部最小項之和為1。
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