按位計數(shù)法

十進(jìn)制計數(shù)法是世界各國常用的一種記數(shù)方法。也是我們從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的計數(shù)法。特點(diǎn)是相鄰兩個單位之間的進(jìn)率都是十。10個較低的單位等于1個相鄰的較高單位。常說“滿十進(jìn)一”，這種以“十”為基數(shù)的進(jìn)位制，叫做十進(jìn)制。

除了十進(jìn)制你還知道其他的進(jìn)制計數(shù)法嗎？有點(diǎn)電腦基礎(chǔ)的還能說出個二進(jìn)制，再要說出更多來估計就要撓破頭皮了。其實結(jié)合下我們的生活你會發(fā)現(xiàn)很多進(jìn)制計數(shù)法我們平常都一直在使用，卻不自知。

一打啤酒是12瓶，每12瓶就是一打，這個就叫做十二進(jìn)制

“半斤八兩”一詞是個常用成語，很多人卻忘了我們中國所用的稱重單位斤和兩，一斤=16兩，每滿16兩是一斤，這就叫做十六進(jìn)制。

用心觀察下我們生活，你會發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)知識來源于生活實際”

對于程序員來說在學(xué)習(xí)了 10進(jìn)制和 2進(jìn)制兩種計數(shù)法，這些方法一般稱作按位計數(shù)法。除了 10進(jìn)制和 2進(jìn)制以外，還有許多種類的按位計數(shù)法。在編程中，也常常使用 8進(jìn)制和 16進(jìn)制計數(shù)法。

編程中常見的計數(shù)法

●8進(jìn)制計數(shù)法

8進(jìn)制計數(shù)法的特征如下：

 使用的數(shù)字有0、1、2、3、4、5、6、7共 8種。

 80的位、81的位、82的位、83的位……（基數(shù)是8）

●16進(jìn)制計數(shù)法

16進(jìn)制計數(shù)法的特征如下：

 使用的數(shù)字有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共 16種。

 160的位、161的位、162的位、163的位……（基數(shù)是16）

在 16進(jìn)制計數(shù)法中，使用 A、B、C、D、E、F（有時也使用小寫字母 a、b、c、d、e、
f）來表示 10以上的數(shù)字。

● N進(jìn)制計數(shù)法

一般來說， N進(jìn)制計數(shù)法的特征如下：

 使用的數(shù)字有0，1，2，3，…， N-1，共 N種。

 N 0的位、N 1的位、N 2的位、N 3的位……（基數(shù)是 N）

例如， N進(jìn)制計數(shù)法中， 4位數(shù) a3a2a1a0為

a3× N3+ a2× N2+ a1× N1+ a0× N0（a3、a2、a1、a0是0～N-1中的數(shù)字。）

一、常見進(jìn)制數(shù)之間的算關(guān)系表：

二、 二進(jìn)制換算成八進(jìn)制和十六進(jìn)制的方法

如二進(jìn)制的“10110111011”：
換八進(jìn)制時，從右到左，三位一組，不夠補(bǔ)0，即成了：
010 110 111 011
然后每組中的3個數(shù)分別對應(yīng)4、2、1的狀態(tài)，然后將為狀態(tài)為1的相加【備注】，如：
010 = 2
110 = 4+2 = 6
111 = 4+2+1 = 7
011 = 2+1 = 3
結(jié)果為：2673

而換十六進(jìn)制時其實也類似，只要每組4位，分別對應(yīng)8、4、2、1就行了，如分解為：
0101 1011 1011
運(yùn)算為：
0101 = 4+1 = 5
1011 = 8+2+1 = 11（由于10為A，所以11即B）
1011 = 8+2+1 = 11（由于10為A，所以11即B）
結(jié)果為：5BB

注意，二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)時，對于分組，整數(shù)部分是從右向左分組，不夠在左邊補(bǔ)0，而小數(shù)部分則是從左向右分組，不夠在右邊補(bǔ)0，

如二進(jìn)制小數(shù)：
0.1100111
轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)，應(yīng)分組為：0.110 011 100 ,轉(zhuǎn)化后為0.634
轉(zhuǎn)化為十六進(jìn)制數(shù)，應(yīng)分組為：0.1100 1110，轉(zhuǎn)化后為0.CE

三、 二  八 十六進(jìn)制換算成十進(jìn)制

3.1 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

二進(jìn)制數(shù)第0位的權(quán)值是2的0次方，第1位的權(quán)值是2的1次方……

所以，設(shè)有一個二進(jìn)制數(shù)：0110 0100，轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制為：

下 面是豎式：

0110 0100 換算成 十進(jìn)制

第0位 0*2⁰ ＝ 0

第1位 0*2¹ ＝ 0

第2位 1*2² ＝ 4

第3位 0*2³ ＝ 0

第4位 0*2⁴ ＝ 0

第5位 1*2⁵ ＝ 32

第6位 1*2⁶ ＝ 64

第7位 0*2⁷ ＝ 0 ＋

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

100

用橫式計算為：

0*2⁰ + 0*2¹ + 1*2² + 1*2³ + 0*2⁴ + 1*2⁵ + 1*2⁶ + 0*2⁷ ＝ 100

3.2 八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

八進(jìn)制就是逢8進(jìn)1。

八進(jìn)制數(shù)采用 0～7這八數(shù)來表達(dá)一個數(shù)。

八進(jìn)制數(shù)第0位的權(quán)值為8的0次方，第1位權(quán)值為8的 1次方，第2位權(quán)值為8的2次方……

所以，設(shè)有一個八進(jìn)制數(shù)：1507，轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制為：

用豎式表示：

1507 換算成十進(jìn)制。

第0位 7*8⁰ ＝ 7

第1位 0*8¹ ＝ 0

第2位 5*8² ＝ 320

第 3位 1*8³ ＝ 512 ＋

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839

3.3 十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)

16進(jìn)制就是逢16進(jìn)1，但我們只有0~9這十個數(shù)字，所以我們用A，B，C，D，E，F(xiàn)這五個字母來分別表示 10，11，12，13，14，15。字母不區(qū)分大小寫。

十六進(jìn)制數(shù)的第0位的權(quán)值為16的0次方，第1位的權(quán)值為16的1次方，第2位的 權(quán)值為16的2次方……

所以，在第N（N從0開始）位上，如果是是數(shù) X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小為 X 16的N次方。

假設(shè)有一個十六進(jìn)數(shù) 2AF5， 那么如何換算成10進(jìn)制呢？

用豎式計算：

2AF5 換算成10進(jìn)制：

第0位： 5*16⁰ ＝ 5

第1位： F*16¹ ＝ 240

第2位： A*16² ＝ 2560

第3位： 2*16³ ＝ 8192 ＋

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10997

（別 忘了，在上面的計算中，A表示10，而F表示15）

四、十進(jìn)制換算成二 、八、十六進(jìn)制

以十進(jìn)制的數(shù)除以所要轉(zhuǎn)換的進(jìn)制數(shù),把每次除得的余數(shù)記在旁邊,所得的商數(shù)繼續(xù)除以進(jìn)制數(shù),直到余數(shù)為0時止.例如要把100轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制:
100/8=12...(余數(shù)為4);
12/8=1.....(余數(shù)為4);
1/8=0......(余數(shù)為1);
然后把相應(yīng)的余數(shù)從低向高順著寫出來,如上的為144,此即為100的八進(jìn)制表示形式.
十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制與二進(jìn)制與前面的轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制相同,如100轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制:
100/16=6....(余數(shù)為4);
6/16=0......(余數(shù)為6);
則以十六進(jìn)制表示的100形式為64;
十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制: 整數(shù)部分按除2取余，小數(shù)部分按乘2取整
例：
50/2    ........ 余0
25/2    ........ 余1
12/2    ........ 余0
6/2     ........ 余0
3/2     ........ 余1
1

50的二進(jìn)制就是  110010

小 數(shù)

0.25*2   ........ 0.5    整數(shù) 0
0.5*2    ........ 1.0    整數(shù) 1

0.25 的二進(jìn)制數(shù)就是 0.01

五、二、十六進(jìn)制數(shù)互相轉(zhuǎn)換

二進(jìn)制數(shù)要轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制，就是以4位一段，分別轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制。

如（上行為二制數(shù)，下面為對應(yīng)的十六進(jìn)制）：

1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011

  F      D      ， A       5       ， 9       B

反過來，當(dāng)我們看到 F D時，如何迅速將它轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)呢？

先轉(zhuǎn)換F：

看到F，我們需知道它是15（可能你還不熟悉 A～F這五個數(shù)），然后15如何用8421湊呢？應(yīng)該是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全為1 ：1111。

接著轉(zhuǎn)換 D：

看 到D，知道它是13，13如何用8421湊呢？應(yīng)該是：8 + 2 + 1，即：1011。

所以，F(xiàn)D轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，為： 1111 1011