運(yùn)用余數(shù)思考

@課前對話：

　　1，奇數(shù)是什么？1，3，5，7，9...奇數(shù)就是被2除余1的整數(shù)。

　　2，偶數(shù)是什么？能被2整除的整數(shù)。

　　3，除法就像分組，余數(shù)來確定它屬于哪個(gè)組。

　　　　(1)，例如下邊的例子，今天星期日，判斷100天以后是星期幾，100除以7，將這100天分組，就是14周零2天，星期日過2天，就是星期2，余數(shù)判斷結(jié)果屬于星期2組。

　　　　(2)，自己總結(jié)的一個(gè)通俗易懂的例子，例如100個(gè)學(xué)生，老師說每7個(gè)人一組，那就用100除以7，這就是分組。例如，一個(gè)學(xué)生是23號，23除以7余2，那這個(gè)學(xué)生就是第4組第2號，這就是余數(shù)來確定你屬于哪個(gè)組。除以8，就是8個(gè)人一組。

@開始本章學(xué)習(xí)內(nèi)容：

1，余數(shù)是什么？余數(shù)就是作除法運(yùn)算時(shí)剩下的數(shù)。

2，無論在數(shù)學(xué)還是在編程中，余數(shù)都起著非常重要的作用。

3，今天是星期日，那么100天以后是星期幾？

　　98是7的倍數(shù)，98天后是星期日(98天后，那天就是星期日)，99天后是星期一，100天后是星期二。

---運(yùn)用余數(shù)思考：

　　假設(shè)今天是星期日，100天后的星期數(shù)就是"100除以7的余數(shù)"。

　　100/7=14余2，因此100天后是星期二。

4，余數(shù)的力量---將較大的數(shù)字除一次就能分組。

　　　　(1)，問題：求一億天后的星期數(shù)，靠數(shù)數(shù)就解決不了問題了。即使1秒數(shù)1下，數(shù)到1億至少也要花費(fèi)3年以上的時(shí)間。

　　　　而如果運(yùn)用余數(shù)的話，1億天以后的星期數(shù)很快就能算出來。如下所示：

　　　　100000000/7=14285714余2

　　　　因?yàn)橛鄶?shù)為2，所以1億天以后是星期二。

　　　　因?yàn)橛鄶?shù)為2，所以1億天以后是星期二。

　　　　n天后的星期數(shù)，可以通過n除以7的余數(shù)來判斷。因?yàn)樾瞧跀?shù)時(shí)以7為周期循環(huán)的。

　　　　在面對難以直接計(jì)算的龐大數(shù)字時(shí)，只要發(fā)現(xiàn)它是如何循環(huán)的(即找到它的規(guī)律)，就能通過余數(shù)的力量將其降服。

　　　　(2)，今天是星期日，那么10^100天以后是星期幾？這個(gè)數(shù)有100個(gè)0。

　　　　這個(gè)數(shù)字太大了，計(jì)算起來相當(dāng)費(fèi)力，即使借助計(jì)算器也很難完成。我們找出它循環(huán)的規(guī)律。

果然有規(guī)律呢！余數(shù)以1，3，2，6，4，5...的順序循環(huán)，星期數(shù)以一，三，二，六，四，五...的順序循環(huán)。這個(gè)周期性可以通過筆算較快得出。

我們通過觀察發(fā)現(xiàn)，每增加6個(gè)0，星期數(shù)就相同，因此周期為6。將0的個(gè)數(shù)除以6，得到的余數(shù)為0，1，2，3，4，5的其中之一，他們分別對應(yīng)星期一，星期三，星期二，星期六，星期四，星期五(咦？沒有星期日呢)。

因此，10^100天以后的星期數(shù)，可以將天數(shù)中的0的個(gè)數(shù)(10^100有100個(gè)0)除以6，通過所得的余數(shù)來判斷。我們來計(jì)算一下。

　　　　100/6=16余4

余數(shù)為4，因此10^100天以后是星期4。

　　　　答案：星期四。

　　(3)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在上邊第一題中，我們借助數(shù)字的規(guī)律，解答出了星期數(shù)。在第二題中，我們找到了0的個(gè)數(shù)的規(guī)律，退出了答案。使用這種方法，就連非常遙遠(yuǎn)的未來的星期數(shù)頁可以很快算出來。我們這就試算一下"10^1億"天以后的星期數(shù)。

　　　　10^1億天以后：

　　　　　　100000000/6=16666666余4

余數(shù)為4，所以答案是星期四。當(dāng)然，恐怕到那時(shí)宇宙都已經(jīng)消失了吧......

由此可見，在處理難以計(jì)算的超大數(shù)字時(shí)，發(fā)現(xiàn)與之相關(guān)的規(guī)律是相當(dāng)重要的。余數(shù)可謂是有效利用規(guī)律的工具。

5，乘方的思考題：

　　(1)，1234567^987654321的個(gè)數(shù)是什么呢？

提示：通過試算找出規(guī)律。1234567^987654321的值無法用計(jì)算器算出來。即使用計(jì)算機(jī)程序來算，由于位數(shù)過多，計(jì)算過程也并不簡單。

因此，我們首先從較小的數(shù)字著手，試算一下。

　　　　1234567^1=1234567

　　　　1234567^2=1524155677489

　　　　1234567^3=恩......

很快數(shù)字就變得很大了，試算也很難進(jìn)行下去了。

且慢，大家要記得現(xiàn)在要求的不是1234567^987654321的乘方，而只是"個(gè)位上的數(shù)字"。那么，只要找到規(guī)律，僅憑筆算就能求出答案哦！

---答案：

能影響兩個(gè)數(shù)字(或者多個(gè)數(shù)字)乘方結(jié)果的個(gè)位數(shù)的，只有這兩個(gè)數(shù)字的個(gè)位數(shù)。也就是說，將1234567的個(gè)位數(shù)7進(jìn)行乘方，只看乘方結(jié)果的個(gè)位數(shù)就行了，1234567的十位以上的數(shù)字123456可以暫且忽略。

我們再來試算一下。

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^0的個(gè)位=1

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^1的個(gè)位=7

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^2的個(gè)位=9

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^3的個(gè)位=3      7的3次方等于343

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^4的個(gè)位=1

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^5的個(gè)位=7

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^6的個(gè)位=9

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^7的個(gè)位=3

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^8的個(gè)位=1

　　　　　　1234567^0的個(gè)位=7^9的個(gè)位=7

算到這里，就發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。個(gè)位是1，7，9，3這四個(gè)數(shù)字的循環(huán)，即周期為4。

由于周期為4，在求1234567^987654321的個(gè)位數(shù)時(shí)，只要用指數(shù)987654321除以4算出余數(shù)就可以了。987654321除以4的余數(shù)為0，1，2，3其中之一，他們分別對應(yīng)1，7，9，3。

　　　　　　因?yàn)?87654321除以4余1，所以答案為7。

　　　　　　答案：1234567^987654321的個(gè)位數(shù)時(shí)7。

　　(2)，回顧：規(guī)律和余數(shù)的關(guān)系

　　　　要點(diǎn)就是找出規(guī)律。只要找出規(guī)律，剩下的問題就可以通過余數(shù)來解決。

　　　　運(yùn)用余數(shù)，大數(shù)字的問題就能簡化成小數(shù)字的問題。

　　6，鋪設(shè)草席的思考題(在房間里鋪設(shè)草席)

　　　　有這樣一個(gè)房間。使用圖中右下角所示的草席能夠正好鋪滿房間嗎？前提是不能使用半張草席。

　　　　如果不能的話，請說明理由。

提示：先計(jì)算一下草席數(shù)

我們先以半張草席為單位計(jì)算一下房間面積。1張草席由2個(gè)半張組成，(第一個(gè)判斷？)如果房間面積按"半張草席"計(jì)算得到的結(jié)果為奇數(shù)，則說明"不能正好鋪滿"。

計(jì)算結(jié)果是房間可以鋪下62張"半張草席"?？墒?2是偶數(shù)，這就不能光靠其奇偶性來判斷能否正好鋪滿了。

還能找出更好的分類方法嗎？

　　　　(第二個(gè)判斷？)以半張草席為單位涂上顏色以示區(qū)分。

現(xiàn)在我們就數(shù)一數(shù)分別有幾張黑色和白色的"半張草席"。

　　　　　　* 黑色的"半張草席"   30張

　　　　　　* 白色的"半張草席"   32張

而一整張草席，是由黑色的"半張草席"和白色的"半張草席"組成的。也就是說，不管用幾張草席鋪滿房間，黑色的"半張草席"和白色的"半張草席"在數(shù)量上必須相等猜對。

由此我們可以得到答案----不能正好鋪滿房間。

---回顧總結(jié)：

幾乎每翻開一本智力書都能看到類似的思考題。原來這個(gè)問題也可以通過奇偶校驗(yàn)來解決呢！

如果想通過計(jì)算解答，可以進(jìn)行如下思考：

　　　　　　* 將黑色的"半張草席"的數(shù)量記作+1

　　　　　　* 將白色的"半張草席"的數(shù)量記作-1

然后將兩種"半張草席"的數(shù)量相加，再判斷計(jì)算結(jié)果是否為0(1加-1)。如果不是0，就不能正好鋪滿。不過假如計(jì)算結(jié)果為0，也并不一定說明能正好鋪滿。因?yàn)?quot;逆命題不一定為真"。

使用這種奇偶校驗(yàn)的判定方法是非常有效的。鋪設(shè)草席的方法有很多種，要證明"不能鋪滿"的話，必須羅列出所有情況。然而，只要運(yùn)用奇偶校驗(yàn)，不用反復(fù)試驗(yàn)就能回答"不能"。(程序中也可以這樣使用奇偶性判斷，而不用反復(fù)的試驗(yàn)判斷)

這里，希望大家注意的是，要進(jìn)行有效的奇偶校驗(yàn)，必須找到"合適的分類方法"。例如在鋪設(shè)草席的問題中，我們?yōu)榉块g的方格涂上了黑白相間的顏色。我們不需要反復(fù)試驗(yàn)，需要的是靈感。

@總結(jié)：

1，對于難以處理的龐大數(shù)值，只要發(fā)現(xiàn)其周期性并使用余數(shù)，就能夠簡化問題。

2，通過草席鋪設(shè)問題，了解到了只要運(yùn)用奇偶性就能省略反復(fù)試驗(yàn)的過程。

3，當(dāng)我們想要詳細(xì)地研究事物時(shí)，往往容易陷入想正確把握所有細(xì)節(jié)的思維。但是，像奇偶性校驗(yàn)?zāi)前?，較之正確的把握，有時(shí)準(zhǔn)確的分類則更為有效。(不用測試所有的可能，有一個(gè)不可能就不可能了。)

4，人們只要發(fā)現(xiàn)了周期性和奇偶性，就能將大問題轉(zhuǎn)換為小問題來解決。余數(shù)就是其中一種重要的武器。下一章，我們將學(xué)習(xí)只需兩步就能解決無窮問題的方法------數(shù)學(xué)歸納法。