（四）浮點(diǎn)數(shù)（從驚訝到思考）

在『代碼之謎』系列的前幾篇文章中，很多次出現(xiàn)了浮點(diǎn)數(shù)。 浮點(diǎn)數(shù)在很多編程語言中被稱為簡單數(shù)據(jù)類型，其實(shí)，浮點(diǎn)數(shù)比起那些復(fù)雜數(shù)據(jù)類型（比如字符串）來說， 一點(diǎn)都不簡單。

單單是說明 IEEE浮點(diǎn)數(shù) 就可以寫一本書了，我將用幾篇博文來簡單的說說我所理解的浮點(diǎn)數(shù)，算是拋磚引玉吧。

一次面試

記得多年前我招聘 Java 程序員時(shí)的一次關(guān)于浮點(diǎn)數(shù)、二分法、編碼的面試， 多年以后，他已經(jīng)稱為了一名很出色的程序員。 每次聚會他都會告訴我，“那次面試徹底改變了我的過去的學(xué)習(xí)方式， 我以前?只是盲目接受知識，根本就沒有自己思考過， 那次對話，比我大學(xué)四年學(xué)到的知識都多”。

我看他簡歷上寫到讀過《信息論》才談了很多關(guān)于二分法以及編碼的話題， 整個(gè)過程大概3個(gè)小時(shí)——這是我面試時(shí)間最長的一次。

因?yàn)闀r(shí)間久遠(yuǎn)，我把一些我能回憶起來的關(guān)于浮點(diǎn)數(shù)的內(nèi)容整理在這篇博客中。

格式說明：

所有我說的話，都放在引用里面。他的話放在了引號（“”）里面。沒有加引號的是我的心理活動或者說明。

浮點(diǎn)數(shù)個(gè)數(shù)

在 8 位計(jì)算機(jī)上，浮點(diǎn)數(shù)一共有多少個(gè)呢？

“8 位的好像太過時(shí)了，現(xiàn)在主流的是 32 位的，好像可以表示3 x 10^38?！?/p>

果然不出我所料，?很多畢業(yè)生都把計(jì)算機(jī)學(xué)成了文科，他們不是在學(xué)習(xí)理論知識，而是接受/背誦這些知識。

8 位計(jì)算機(jī)可以表示的整數(shù)是多少個(gè)呢？

“這個(gè)簡單，2的8次方，應(yīng)該是 256 個(gè)。N 位計(jì)算機(jī)表示的整數(shù)就是 2 的 N 次方?！?/p>

他回答時(shí)顯得很興奮，因?yàn)樗K于可以反駁我的觀點(diǎn)了，他沒有把計(jì)算機(jī)當(dāng)作死記硬背的學(xué)科。

8 位計(jì)算機(jī)，或者說?8bit 可以表示 2^8 個(gè)整數(shù)。 如果用這 8bit 來表示字符，可以表示多少個(gè)呢？

“呵呵，當(dāng)然也是 2 的 8 次方了，否則就沒有必要再發(fā)明16位或者32位的 unicode 去表示漢字了?！?/p>

如你剛才所說，8bit 可以表示 3 x 10^38 個(gè)浮點(diǎn)數(shù)。那么你估算一下，2bit 可以表示多少個(gè)浮點(diǎn)數(shù)呢？

“既然 2bit 可以表示 4 個(gè)整數(shù)，浮點(diǎn)數(shù)嘛肯定比這個(gè)多，最少也得能表示 10 幾個(gè)浮點(diǎn)數(shù)吧?！?/p>

好吧，按照你的思路，我說幾個(gè)數(shù)。

• 0總該有吧，用 00 表示。
• 0.1 用 01 表示
• 0.2 用 10 表示
• 0.3 用 11 表示

現(xiàn)在你把 0.4 給我表示出來？

『他思索了片刻』“哦。我明白了，?2bit 可以表示 4 個(gè)數(shù)，不管是整數(shù)、小數(shù)或者字符，就算是用 2bit 表示蘋果，我們也只能表示 4 個(gè)，如果想要表示更多，就得用更多的 bit 位?！?/p>

雖然他在簡歷中寫到讀過《信息論》，他對?N bit可以表示的信息量是 2^N?肯定沒有完全理解，或者只是被動接受了這個(gè)定理。

過了一會兒他又繼續(xù)說：“按照這個(gè)邏輯，8bit 只能表示 256 個(gè)浮點(diǎn)數(shù)了，這也太少了。 我有點(diǎn)糊涂了，浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍一般都得幾萬甚至幾億啊?！?/p>

浮點(diǎn)數(shù)精度

于是我在 firebug 里面寫了幾行代碼（可以在本系列第一篇的?序言?部分找到這些代碼）。

0.2 + 0.4

0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1

“這怎么可能呢？JS 居然這么不嚴(yán)格？”

顯然他把這種現(xiàn)象歸結(jié)于 js（謝天謝地，他沒有把罪過加在 firebug 身上）。 于是我用 Java 重寫了上面的代碼，這回他只剩目瞪口呆了。

既然他已經(jīng)開始?驚訝，那么下一步就是?思考。我又稍作了解釋：

任何語言都宣稱他們的浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍是 3 x 10^38，這個(gè)數(shù)到底多大呢？目前所知宇宙的年齡是 1.373 x 10^10 年。

但是 32bit 最多只能表示 2^32 個(gè)數(shù)，大約是 4 x 10^9。

對比一下你就會發(fā)現(xiàn)令人震驚的結(jié)果。 如果把浮點(diǎn)數(shù)的范圍比做地球，那么可以精確表示的浮點(diǎn)數(shù)還不到一粒芝麻大。

“這么說，0.2+0.4 是因?yàn)樗荒軌蚓_表示，所以出現(xiàn)了計(jì)算錯誤的現(xiàn)象。那在編程中如何避免這種問題呢？”

用?定點(diǎn)數(shù)表示小數(shù)。

浮點(diǎn)數(shù)等價(jià)于小數(shù)嗎

“定點(diǎn)數(shù)不是整數(shù)嗎？定點(diǎn)數(shù)怎么表示小數(shù)??？”

很顯然，有一個(gè)理論性概念錯誤。他沒有真正理解什么是定點(diǎn)，什么是浮點(diǎn)。

浮點(diǎn)數(shù)可以表示整數(shù)嗎？比如，float a = 2 可以嗎？

“可以是可以，這個(gè) 2 在計(jì)算機(jī)里面應(yīng)該存儲的是 2.0 吧？”

計(jì)算機(jī)肯定沒有存儲 2.0。百分之一萬的肯定。計(jì)算機(jī)存儲的是0、1串。呵呵。

“我覺得浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)該不會存儲整數(shù)的2，他存儲的應(yīng)該是小數(shù)的2.0，然后轉(zhuǎn)換成0、1串，是這樣嗎？”

他一連問了我?guī)讉€(gè)問題，使我感覺到，我不是在面試，而是在上課。

整數(shù)和小數(shù)是數(shù)學(xué)里面的概念，在計(jì)算機(jī)中，只有定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)，沒有整數(shù)和小數(shù)。

定點(diǎn)數(shù)在課本里如何定義的？

“忘了，只知道定點(diǎn)數(shù)就是整數(shù)，浮點(diǎn)數(shù)就是小數(shù)。好像老師也是這么講的。”

那是因?yàn)槟銈兝蠋煵皇俏?，如果我?dāng)老師，肯定不會這么教學(xué)生?！盒Α?/p>

定點(diǎn)、浮點(diǎn)，“點(diǎn)”是什么意思？“點(diǎn)”就是小數(shù)點(diǎn)。 把小數(shù)點(diǎn)固定，通常固定在最右面，就是定點(diǎn)數(shù)。 把小數(shù)點(diǎn)浮動，就是浮點(diǎn)數(shù)。浮點(diǎn)在哪兒？這個(gè)在 IEEE 浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)里面定義的。

回到前面話題，如何精確的表示小數(shù)呢？其中一種方案就是定點(diǎn)數(shù)。 拿 8bit 舉例吧。我們可以把小數(shù)點(diǎn)定在中間，用 4bit 表示整數(shù)部分，4bit 表示小數(shù)部分。 這樣構(gòu)造方式（專業(yè)點(diǎn)我們稱他為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，一般語言把整數(shù)和小數(shù)稱為簡單數(shù)據(jù)類型，其實(shí)他們一點(diǎn)都不簡單，而且比那些成了復(fù)合數(shù)據(jù)類型的字符串都要復(fù)雜的多），我們可以精確的表示64個(gè)小數(shù)，我們可以精確的表示 2^8 = 256 個(gè)小數(shù)（謝謝?mfkvfn?在 iteye 上的指正）。

在下一章，我們將構(gòu)造一個(gè) 8bit 的浮點(diǎn)數(shù)表示形式，來深入探索浮點(diǎn)數(shù)不為人知的秘密。 我稱它為 JJFN-134(JustJavac Float Notation，justjavac浮點(diǎn)數(shù)表示法)，1bit符號，3bit指數(shù)，4bit尾數(shù)。