（一）有限與無限 從整數(shù)的絕對值說起

一、引子

開始本章之前我先提個問題：“如果一個整數(shù)的絕對值等于它自己，那么這個數(shù)是幾？”如果你回答是 0 和 所有正數(shù)，那么請你耐心讀完這篇文章吧。

本章是我『代碼之謎』系列的第二篇，前一篇『代碼之謎 - 開篇/前言/序』簡單介紹了計算機與數(shù)學的不同。

數(shù)學中有許多復雜深刻的矛盾，數(shù)學家的工作就是解釋或者反駁這些矛盾， 例如有限與無限、連續(xù)與離散、存在與構(gòu)造、邏輯與直觀、具體與抽象、概念與計算等等。

在本章中，我們把目標縮小，主要討論內(nèi)容

• 概念: 有限與無限
• 對象: 8bit整數(shù)

二、絕對值之謎

終于到主題了，也許你很想知道“負數(shù)的絕對值可能等于自己嗎？”，也就是 “如果x等于-x，那么x有幾個解？”按照我一貫的作風，我是不會輕易告訴你答案的。 《編程珠璣》記載，作者告訴了他同事一個結(jié)果，而不是方法，最后追悔莫及。 所以，我在這里要告訴你方法，而不是告訴你答案。

告訴你答案之前，首先得回答個問題：“整數(shù)(8bit)的表示范圍是多少？”，（也許你已經(jīng)把教科書的知識背下來了，是 -2^7 到 2^7 - 1，也就是 -128 到 +127，現(xiàn)在的計算機科學都快成為文科了 ^_^ ）。

如果你不知道也沒關(guān)系，至少你知道 8bit 可以表示的整數(shù)個數(shù)是 2^8 個，這個數(shù)等于多少無所謂，但是，它一定是個偶數(shù)(256)。

那么這里就有一個很有意思的問題了，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，把0去掉的話，整數(shù)的個數(shù)就是奇數(shù)了，整數(shù)還剩 255 個。 奇數(shù)個整數(shù)不可能平均分成兩部分(正數(shù)和負數(shù))，要么負數(shù)多一個，要么正數(shù)多一個。事實就是，負數(shù)比正數(shù)多一個，最小的負數(shù)是 -128， 最大的整數(shù)是 127。

現(xiàn)在的問題是， -128 的絕對值是多少呢？ -(-128)等于多少呢？是溢出呢，還是等于它自己呢？也許計算機課本沒有告訴你，?整數(shù)是不會出現(xiàn)溢出異常的，整數(shù)的溢出被認為是正常的舍棄（其實只要很合理）。整數(shù)只有被0除才會異常，而浮點數(shù)，即使被0除也不會拋出異常。 浮點數(shù)除0的操作將放在本系列浮點數(shù)篇討論。

絕對值等于自己的數(shù)有兩個，0 和最小的負數(shù)。

你可能要像香港電影里女主角那樣歇斯底里的大喊“絕對值怎么可能是負數(shù)呢？ 不可能，我不信，我不信…”

忘掉你那可憐的數(shù)學知識吧，“發(fā)生這種事，大家都不想的。感情的事呢，是不能強求的。所謂吉人自有天相，做人呢，最要緊的就是開心…”跑題了，趕緊回來。

在經(jīng)典數(shù)學（非皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)，皮亞諾絕對是歐幾里德的鐵桿粉絲，要不怎么會有如此天才的構(gòu)想，這個以后會給大家普及）中，絕對值定義為：“從原點到點A的距離，稱為A的絕對值，它是一個非負數(shù)”。 既然講到了距離，不妨劇透一下（本系列“邏輯篇”會涉及到），兩個數(shù)的大小在數(shù)學中如何定義，“距離數(shù)軸原點的距離遠近”，計算機中大小如何定義的呢？給大家留個作業(yè)吧（別告訴我是設計編程語言或者設計電腦的科學家規(guī)定的，計算機科學絕對不是文科）。

計算機中沒有數(shù)軸，絕對值是如何定義的呢？看看java、C、Python的源碼（感謝那些開源大牛），和咱們學的小學數(shù)學一樣。

abs(x) :=  (x >= 0) ? x : -x

翻譯過來就是，x的絕對值定義為：正數(shù)和0的絕對值等于它自己，負數(shù)的絕對值等于-x。（這里使用的是-x，而沒有用0-x，因為在浮點數(shù)中，這兩者是有區(qū)別的。）

三、深入 -x

那么 -x 是如何計算的呢？?計算是數(shù)學概念，在計算機中，我們應該說 -x是如何求值的呢？還得回到源碼，我只看了linux中關(guān)于C的源碼，如果你看過其它語言源碼發(fā)現(xiàn)和我說的不同，請聯(lián)系我。 學過計算機原理的都知道，負數(shù)在計算機中以補碼形式存儲，計算補碼的方式和取反操作類似。

符號位不變，其它位取反，最后加一。

比如 -5

原碼:       1000,0101
其它位取反:  1111,1010
加一:       1111,1011

當我們求它的絕對值時如何操作呢

補碼:     1111,1011      這是-5在計算機中的表示
各位取反:  0000,0100
加一:     0000,0101      此時結(jié)果為+5

現(xiàn)在我們回到最小的負數(shù)問題，最小的負數(shù)在計算機中表示為 1000,000，下面我們對這個數(shù)操作

補碼:     1000,0000
各位取反:  0111,1111
加一:     1000,0000

神奇嗎，尼瑪，居然又回到自己了。