MATLAB代數(shù)

到本節(jié)為止，我們已經(jīng)看到，所有的例子 MATLAB 方式工作以及GNU（或者稱為Octave）。但是在解決基本的代數(shù)方程的問題上，MATLAB 和 Octave 有點差別，因此對于 MATLAB 和 octave 會單獨分開介紹。

對于因式分解以及簡化代數(shù)表達式，我們也會進行接觸。

在MATLAB解決基本的代數(shù)方程組

MATLAB 中使用 solve 命令求解代數(shù)方程組。在其最簡單的形式，solve 函數(shù)需要括在引號作為參數(shù)方程。

例如，讓我們在方程求解 x， x-5 = 0

solve('x-5=0')

MATLAB執(zhí)行上述語句，返回下述結果：

ans =
 5

還可以調(diào)用求解函數(shù)為：

y = solve('x-5 = 0')

MATLAB執(zhí)行上述語句，返回以下結果：

y =
 5

甚至可能不包括的右邊的方程：

solve('x-5')

MATLAB執(zhí)行上述語句，返回以下結果：

ans =
 5

然而，如果公式涉及多個符號，那么MATLAB默認情況下，假定正在解決 x，解決命令具有另一種形式：

solve(equation, variable)

在那里，還可以提到的變量。

例如，讓我們來解決方程 v – u – 3t² = 0, 或 v 在這種情況下，我們應該這樣寫：

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB執(zhí)行上述語句，返回以下結果：

ans =
 3*t^2 + u

MATLAB解決基本在Octave中代數(shù)方程組

根命令用于求解代數(shù)方程組 Octave ，可以寫上面的例子如下：

例如，讓我們在方程求解x ， x-5 = 0

roots([1, -5])

Octave 執(zhí)行上述語句，返回以下結果：

ans =
 5

還可以調(diào)用求解函數(shù)為：

y = roots([1, -5])

Octave 執(zhí)行上述語句，返回以下結果：

y =
 5

在MATLAB解決二次方程

solve 命令也可以解決高階方程。它經(jīng)常被用來求解二次方程，該函數(shù)返回在數(shù)組中的方程的根。

下面舉例子解決二次方程 x² -7x +12 = 0。

在MATLAB中建立一個腳本文件，并輸入下述代碼：

s = solve(x^2 -7*x + 12 == 0);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

運行該文件，顯示以下結果：

The first root is: 
3
The second root is: 
4

Octave二次方程求解

下面的例子解決二次方程 x² -7x +12 = 0 在 Octave 中。創(chuàng)建立一個腳本文件，并輸入下述代碼：

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

運行該文件，顯示以下結果：

The first root is: 
 4
The second root is: 
 3

在MATLAB解高階方程

solve 命令還可以解決高階方程。例如，讓我們來解決一個三次方程 (x-3)²(x-7) = 0

solve([(x-3)^2*(x-7)=0])

MATLAB執(zhí)行上述語句，返回以下結果：

ans =
  3
  3
  7

在高階方程的情況下，根長含有許多術語。可以得到的數(shù)值如根，把它們轉換成一倍。

下面的例子解決了四階方程 x⁴ ? 7x³ + 3x² ? 5x + 9 = 0.

在MATLAB中建立一個腳本文件，并輸入下述代碼：

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

運行該文件，返回以下結果：

The first root is: 
6.630396332390718431485053218985
 The second root is: 
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
    6.6304
Numeric value of second root
    1.0598
Numeric value of third root
  -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
  -0.3451 + 1.0778i

請注意，在過去的兩個根是復數(shù)。

在 Octave求解高階方程

下面的例子解決了四階方程 x⁴ ? 7x³ + 3x² ? 5x + 9 = 0.

建立一個腳本文件，并輸入下述代碼：

v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

運行該文件，返回以下結果：

Numeric value of first root
 6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
 1.0598

在MATLAB中求解方程組

solve 命令也可以用于生成涉及一個以上的變量的方程系統(tǒng)的解決方案。

我們求解方程：

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

在MATLAB中建立一個腳本文件，并輸入下述代碼：

s = solve([5*x + 9*y = 5],[3*x - 6*y = 4]);
s.x
s.y

運行該文件，顯示以下結果：

ans =
 22/19
ans =
-5/57

用同樣的方法，可以解決大型線性系統(tǒng)。

請考慮以下的方程組：

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

Octave方程求解系統(tǒng)

我們有一點點不同的方法來解決系統(tǒng) 'n' 的 'n' 未知數(shù)的線性方程組。

讓我們求解方程：

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

這樣的系統(tǒng)中的線性方程組的單一的矩陣方程可寫為 Ax = b, 其中 A 是系數(shù)矩陣，b 是含有線性方程組右側的列向量，x 是列向量，代表在下面的程序中所示

創(chuàng)建一個腳本文件，并鍵入下面的代碼：

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A  b

運行該文件，顯示以下結果：

ans =

   1.157895
  -0.087719

用同樣的方法，可以解決大型線性系統(tǒng)給出如下：

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

MATLAB擴大和收集方程

MATLAB中 expand 和 collect 命令用于擴展，并分別收集一個方程。下面的示例演示的概念：

當工作中有許多象征性的函數(shù)，你應當聲明你的變量是象征意義的。

在MATLAB中建立一個腳本文件，并輸入下述代碼：

syms x %symbolic variable x
syms y %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

運行該文件，顯示以下結果：

ans =
 x^2 + 4*x - 45
 ans =
 x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
 ans =
 2*cos(x)*sin(x)
 ans =
cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
 ans =
 x^4 - 7*x^3
 ans =
 x^6 - 8*x^5 + 15*x^4 

Octave擴展和收集方程 

你需要 symbolic 包，它提供了expand 和 collect 命令來擴大和收集方程。下面的示例演示的概念：

當工作中有許多象征意義的函數(shù)，應該聲明變量是象征性的，但八度有不同的方法來定義符號變量。注意使用 sin 和 cos，他們還象征意義性的包中定義。

建立一個腳本文件，并輸入下述代碼：

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

當運行該文件，它會顯示以下結果：

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

分解和簡化代數(shù)表達式

factor 命令表達式 factorizes 是一個簡化命令的簡化表達。

具體例子

建立一個腳本文件，并輸入下述代碼：

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

運行該文件，顯示以下結果：

ans =
(x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
 ans =
 [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
 ans =
 x^2 + 4