C++漢諾塔問題

在歸并排序和構(gòu)建二叉樹中，我們都是將原問題分解為兩個(gè)規(guī)模為原問題一半的子問題。然而對(duì)于漢諾塔問題，我們采用不同的分解策略。

圖 12-10   漢諾塔問題示例

我們將規(guī)模為 $i$ 的漢諾塔問題記做 $f(i)$ 。例如 $f(3)$ 代表將 $3$ 個(gè)圓盤從 A 移動(dòng)至 C 的漢諾塔問題。

 考慮基本情況

如圖 12-11 所示，對(duì)于問題 $f(1)$ ，即當(dāng)只有一個(gè)圓盤時(shí)，我們將它直接從 A 移動(dòng)至 C 即可。

圖 12-11   規(guī)模為 1 問題的解

如圖 12-12 所示，對(duì)于問題 $f(2)$ ，即當(dāng)有兩個(gè)圓盤時(shí)，由于要時(shí)刻滿足小圓盤在大圓盤之上，因此需要借助 B 來完成移動(dòng)。

1. 先將上面的小圓盤從 A 移至 B 。
2. 再將大圓盤從 A 移至 C 。
3. 最后將小圓盤從 B 移至 C 。

圖 12-12   規(guī)模為 2 問題的解

解決問題 $f(2)$ 的過程可總結(jié)為：將兩個(gè)圓盤借助 B 從 A 移至 C 。其中，C 稱為目標(biāo)柱、B 稱為緩沖柱。

子問題分解

對(duì)于問題 $f(3)$ ，即當(dāng)有三個(gè)圓盤時(shí)，情況變得稍微復(fù)雜了一些。

因?yàn)橐阎?$f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我們可從分治角度思考，將 A 頂部的兩個(gè)圓盤看做一個(gè)整體，執(zhí)行圖 12-13 所示的步驟。這樣三個(gè)圓盤就被順利地從 A 移動(dòng)至 C 了。

1. 令 B 為目標(biāo)柱、C 為緩沖柱，將兩個(gè)圓盤從 A 移動(dòng)至 B 。
2. 將 A 中剩余的一個(gè)圓盤從 A 直接移動(dòng)至 C 。
3. 令 C 為目標(biāo)柱、A 為緩沖柱，將兩個(gè)圓盤從 B 移動(dòng)至 C 。

圖 12-13   規(guī)模為 3 問題的解

本質(zhì)上看，我們將問題 $f(3)$ 劃分為兩個(gè)子問題 $f(2)$ 和子問題 $f(1)$ 。按順序解決這三個(gè)子問題之后，原問題隨之得到解決。這說明子問題是獨(dú)立的，而且解是可以合并的。

至此，我們可總結(jié)出圖 12-14 所示的漢諾塔問題的分治策略：將原問題 $f(n)$ 劃分為兩個(gè)子問題 $f(n?1)$ 和一個(gè)子問題 $f(1)$ ，并按照以下順序解決這三個(gè)子問題。

1. 將 $n?1$ 個(gè)圓盤借助 C 從 A 移至 B 。
2. 將剩余 $1$ 個(gè)圓盤從 A 直接移至 C 。
3. 將 $n?1$ 個(gè)圓盤借助 A 從 B 移至 C 。

對(duì)于這兩個(gè)子問題 $f(n?1)$ ，可以通過相同的方式進(jìn)行遞歸劃分，直至達(dá)到最小子問題 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移動(dòng)操作即可。

圖 12-14   漢諾塔問題的分治策略

代碼實(shí)現(xiàn)

在代碼中，我們聲明一個(gè)遞歸函數(shù) dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是將柱 src 頂部的 $i$ 個(gè)圓盤借助緩沖柱 buf 移動(dòng)至目標(biāo)柱 tar 。

hanota.cpp

/* 移動(dòng)一個(gè)圓盤 */
void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
    // 從 src 頂部拿出一個(gè)圓盤
    int pan = src.back();
    src.pop_back();
    // 將圓盤放入 tar 頂部
    tar.push_back(pan);
}

/* 求解漢諾塔：問題 f(i) */
void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
    // 若 src 只剩下一個(gè)圓盤，則直接將其移到 tar
    if (i == 1) {
        move(src, tar);
        return;
    }
    // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個(gè)圓盤借助 tar 移到 buf
    dfs(i - 1, src, tar, buf);
    // 子問題 f(1) ：將 src 剩余一個(gè)圓盤移到 tar
    move(src, tar);
    // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個(gè)圓盤借助 src 移到 tar
    dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* 求解漢諾塔 */
void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
    int n = A.size();
    // 將 A 頂部 n 個(gè)圓盤借助 B 移到 C
    dfs(n, A, B, C);
}

如圖 12-15 所示，漢諾塔問題形成一個(gè)高度為 $n$ 的遞歸樹，每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)子問題、對(duì)應(yīng)一個(gè)開啟的 dfs() 函數(shù)，因此時(shí)間復(fù)雜度為 $O(2^n)$ ，空間復(fù)雜度為 $O(n)$ 。

圖 12-15   漢諾塔問題的遞歸樹