C++基數(shù)排序

上一節(jié)我們介紹了計(jì)數(shù)排序，它適用于數(shù)據(jù)量 $n$ 較大但數(shù)據(jù)范圍 $m$ 較小的情況。假設(shè)我們需要對(duì) $n={10}^6$ 個(gè)學(xué)號(hào)進(jìn)行排序，而學(xué)號(hào)是一個(gè) $8$ 位數(shù)字，這意味著數(shù)據(jù)范圍 $m={10}^8$ 非常大，使用計(jì)數(shù)排序需要分配大量?jī)?nèi)存空間，而基數(shù)排序可以避免這種情況。

「基數(shù)排序 radix sort」的核心思想與計(jì)數(shù)排序一致，也通過統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)排序。在此基礎(chǔ)上，基數(shù)排序利用數(shù)字各位之間的遞進(jìn)關(guān)系，依次對(duì)每一位進(jìn)行排序，從而得到最終的排序結(jié)果。

算法流程

以學(xué)號(hào)數(shù)據(jù)為例，假設(shè)數(shù)字的最低位是第 $1$ 位，最高位是第 $8$ 位，基數(shù)排序的流程如圖 11-18 所示。

1. 初始化位數(shù) $k=1$ 。
2. 對(duì)學(xué)號(hào)的第 $k$ 位執(zhí)行“計(jì)數(shù)排序”。完成后，數(shù)據(jù)會(huì)根據(jù)第 $k$ 位從小到大排序。
3. 將 $k$ 增加 $1$ ，然后返回步驟 2. 繼續(xù)迭代，直到所有位都排序完成后結(jié)束。

圖 11-18   基數(shù)排序算法流程

下面來(lái)剖析代碼實(shí)現(xiàn)。對(duì)于一個(gè) $d$ 進(jìn)制的數(shù)字 $x$ ，要獲取其第 $k$ 位 $x_k$ ，可以使用以下計(jì)算公式：

其中 $?a?$ 表示對(duì)浮點(diǎn)數(shù) $a$ 向下取整，而 $modd$ 表示對(duì) $d$ 取余。對(duì)于學(xué)號(hào)數(shù)據(jù)，$d=10$ 且 $k\in [1,8]$ 。

此外，我們需要小幅改動(dòng)計(jì)數(shù)排序代碼，使之可以根據(jù)數(shù)字的第 $k$ 位進(jìn)行排序。

radix_sort.cpp

/* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重復(fù)執(zhí)行昂貴的次方計(jì)算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 計(jì)數(shù)排序（根據(jù) nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(vector<int> &nums, int exp) {
    // 十進(jìn)制的位范圍為 0~9 ，因此需要長(zhǎng)度為 10 的桶
    vector<int> counter(10, 0);
    int n = nums.size();
    // 統(tǒng)計(jì) 0~9 各數(shù)字的出現(xiàn)次數(shù)
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d]++;                // 統(tǒng)計(jì)數(shù)字 d 的出現(xiàn)次數(shù)
    }
    // 求前綴和，將“出現(xiàn)個(gè)數(shù)”轉(zhuǎn)換為“數(shù)組索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍歷，根據(jù)桶內(nèi)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，將各元素填入 res
    vector<int> res(n, 0);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在數(shù)組中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 將當(dāng)前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 將 d 的數(shù)量減 1
    }
    // 使用結(jié)果覆蓋原數(shù)組 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基數(shù)排序 */
void radixSort(vector<int> &nums) {
    // 獲取數(shù)組的最大元素，用于判斷最大位數(shù)
    int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
    // 按照從低位到高位的順序遍歷
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 對(duì)數(shù)組元素的第 k 位執(zhí)行計(jì)數(shù)排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
}

算法特性

相較于計(jì)數(shù)排序，基數(shù)排序適用于數(shù)值范圍較大的情況，但前提是數(shù)據(jù)必須可以表示為固定位數(shù)的格式，且位數(shù)不能過大。例如，浮點(diǎn)數(shù)不適合使用基數(shù)排序，因?yàn)槠湮粩?shù) $k$ 過大，可能導(dǎo)致時(shí)間復(fù)雜度 $O(nk)?O(n^2)$ 。

• 時(shí)間復(fù)雜度 $O(nk)$：設(shè)數(shù)據(jù)量為 $n$ 、數(shù)據(jù)為 $d$ 進(jìn)制、最大位數(shù)為 $k$ ，則對(duì)某一位執(zhí)行計(jì)數(shù)排序使用 $O(n+d)$ 時(shí)間，排序所有 $k$ 位使用 $O((n+d)k)$ 時(shí)間。通常情況下， $d$ 和 $k$ 都相對(duì)較小，時(shí)間復(fù)雜度趨向 $O(n)$ 。
• 空間復(fù)雜度 $O(n+d)$、非原地排序：與計(jì)數(shù)排序相同，基數(shù)排序需要借助長(zhǎng)度為 $n$ 和 $d$ 的數(shù)組 res 和 counter 。
• 穩(wěn)定排序：與計(jì)數(shù)排序相同。