Python機(jī)器學(xué)習(xí)之邏輯回歸

來源: 認(rèn)證小可愛 2021-08-20 10:08:22 瀏覽數(shù) (3619)

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在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，邏輯回歸是一個(gè)非常經(jīng)典的算法。今天小編帶來的是一片關(guān)于邏輯回歸算法的介紹與實(shí)現(xiàn)，希望能給各位小伙伴帶來一些幫助。

一、題目

1.主題：邏輯回歸

2.描述：假設(shè)你是某大學(xué)招生主管，你想根據(jù)兩次考試的結(jié)果決定每個(gè)申請(qǐng)者的錄取
機(jī)會(huì)?，F(xiàn)有以往申請(qǐng)者的歷史數(shù)據(jù)，可以此作為訓(xùn)練集建立邏輯回歸模型，并用
其預(yù)測某學(xué)生能否被大學(xué)錄取。

3.數(shù)據(jù)集：文件 ex2data1.txt ，第一列、第二列分別表示申請(qǐng)者兩次
考試的成績，第三列表示錄取結(jié)果（1 表示錄取，0 表示不錄?。?。

二、目的

1.理解邏輯回歸模型

2.掌握邏輯回歸模型的參數(shù)估計(jì)算法

三、平臺(tái)

1.硬件：計(jì)算機(jī)

2.操作系統(tǒng)：WINDOWS

3.編程軟件：Pycharm

4.開發(fā)語言：python

四、基本原理

注：基本原理是我們?cè)趯W(xué)習(xí)邏輯回歸過程中的一些總結(jié)，包括為什么要選擇對(duì)數(shù)損失函數(shù)等。

4.1 邏輯回歸

邏輯回歸就是將樣本的特征可樣本發(fā)生的概率聯(lián)合起來，概率就是一個(gè)數(shù)，所以就是解決分類問題，一般解決二分類問題。
對(duì)于線性回歸中，f ( x ) = w T x + b ，這里 f ( x ) 的范圍為[ ? ∞ , + ∞ ]，說明通過線性回歸中我們可以求得任意的一個(gè)值。對(duì)于邏輯回歸來說就是概率，這個(gè)概率取值需要在區(qū)間[0,1]內(nèi)，通常我們使用Sigmoid函數(shù)表示。

Sigmoid函數(shù)其表達(dá)式為（2）

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最終我們可以通過Sigmoid函數(shù)求出對(duì)于每組自變量使得因變量預(yù)測為1的概率P；

即：

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（當(dāng)P>0.5時(shí)預(yù)測為1，小于0.5為0）
在分類情況下，經(jīng)過學(xué)習(xí)后的LR分類器其實(shí)就是一組權(quán)值θ ，當(dāng)有測試樣本輸入時(shí)，這組權(quán)值與測試數(shù)據(jù)按照加權(quán)得到

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之后按照Sigmoid函數(shù)的形式求出

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從而去判斷每個(gè)測試樣本所屬的類別。

4.2 損失函數(shù)

實(shí)驗(yàn)一我們做線性回歸模型時(shí)，給出了線性回歸的代價(jià)函數(shù)的形式（誤差平方和函數(shù)），具體形式如：

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但是并不能應(yīng)用到邏輯回歸中，這是因?yàn)長R的假設(shè)函數(shù)的外層函數(shù)是Sigmoid函數(shù)，Sigmoid函數(shù)是一個(gè)復(fù)雜的非線性函數(shù)，這就使得我們將邏輯回歸的假設(shè)函數(shù)

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帶入上式時(shí)，我們得到的是一個(gè)非凸函數(shù)，如下圖：

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因此，此處我們需要重新考慮損失函數(shù)；
在邏輯回歸中，我們最常用的損失函數(shù)為對(duì)數(shù)損失函數(shù)，對(duì)數(shù)損失函數(shù)可以為LR提供一個(gè)凸的代價(jià)函數(shù)，有利于使用梯度下降對(duì)參數(shù)求解。對(duì)數(shù)函數(shù)圖像如圖：

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藍(lán)色的曲線表示的是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，紅色的曲線表示的是負(fù)對(duì)數(shù) 的圖像，該圖像在0-1區(qū)間上有一個(gè)很好的性質(zhì)，如圖粉紅色曲線部分。在0-1區(qū)間上當(dāng)z=1時(shí)，函數(shù)值為0，而z=0時(shí)，函數(shù)值為無窮大。這就可以和代價(jià)函數(shù)聯(lián)系起來，在預(yù)測分類中當(dāng)算法預(yù)測正確其代價(jià)函數(shù)應(yīng)該為0；當(dāng)預(yù)測錯(cuò)誤，我們就應(yīng)該用一個(gè)很大代價(jià)（無窮大）來懲罰我們的學(xué)習(xí)算法，使其不要輕易預(yù)測錯(cuò)誤。
因此，我們重新定義邏輯回歸的代價(jià)函數(shù)為：

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損失函數(shù)的求解為：

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五、實(shí)驗(yàn)步驟

1.數(shù)據(jù)可視化

在python中通過文件導(dǎo)入數(shù)據(jù)，并使用matlibplot工具建立對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖：

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需要注意的是，我們的theta是三元組，θ0對(duì)應(yīng)的X特征值固定為1，因此讀取數(shù)據(jù)時(shí)，如上圖最左側(cè)加入一個(gè)1；

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可以看到，被錄取與不被錄取的數(shù)據(jù)有較為清晰的一個(gè)界限，接下來我們要求解的就是這條界線；

2. 將線性回歸參數(shù)初始化為0，計(jì)算代價(jià)函數(shù)(cost function)的初始值

根據(jù)基本原理中的代價(jià)計(jì)算公式，這里將sigmoid、損失公式代碼化：

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將theta初始化為（0，0，0）后，直接調(diào)用cost函數(shù)求值：

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得到代價(jià)函數(shù)初始值：

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3. 選擇一種優(yōu)化方法求解邏輯回歸參數(shù)

(1)梯度下降法

我們選擇先用梯度下降法來觀察theta參數(shù)結(jié)果；
梯度下降算法代碼實(shí)現(xiàn)如圖：

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X：對(duì)于線性回歸中的常量b，我們可以將它的系數(shù)視為1，然后和變量x組成一個(gè)m行3列的矩陣，其中m是數(shù)據(jù)規(guī)模，這個(gè)矩陣就是X。
Y：一個(gè)m行1列的矩陣，對(duì)應(yīng)是否錄取。
alpha：學(xué)習(xí)率
第一步，將我們的Θ初始化為[[0][0][0]]。
第二步，對(duì)于給定的步長alpha和此時(shí)的梯度gradient，更新我們的theta。然后計(jì)算此時(shí)thrta對(duì)應(yīng)的梯度更新gradient。
第三步，重復(fù)第二步30萬次
第四步，返回theta，即為我們線性回歸的參數(shù)。

但是，對(duì)于邏輯回歸來說，這里遇到了一個(gè)問題，那就是alpha和迭代次數(shù)的取值，如果alpha過小，損失函數(shù)將收斂的非常慢，迭代次數(shù)達(dá)到40萬時(shí)才勉強(qiáng)收斂，但如果alpha過大，又會(huì)導(dǎo)致過大的步長使得準(zhǔn)確率下降；
alpha = 0.001時(shí)的收斂函數(shù)，在50萬次時(shí)收斂： 0.005時(shí)在25萬次時(shí)收斂；

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而如果alpha繼續(xù)增大（如0.01），將導(dǎo)致不夠準(zhǔn)確，其界限與收斂圖形如下：

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（界限太差，僅80%準(zhǔn)確率，且需要20萬次迭代）
因此，我們?cè)谶\(yùn)行該數(shù)據(jù)時(shí)需要運(yùn)行稍長的時(shí)間；alpha=0.005，迭代次數(shù)為30萬時(shí)可以得到一組回歸參數(shù)：

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它的劃分邊界如圖所示，其準(zhǔn)確率為92%：該參數(shù)的劃分準(zhǔn)確率計(jì)算方法如下：

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測試準(zhǔn)確率：

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比較簡單，預(yù)測正確則加一，最后除以全部樣本數(shù)。

(2)牛頓迭代法

因?yàn)樯鲜龅牡陆捣ㄋ璧螖?shù)過多，因此這里使用一種優(yōu)化方法來求解參數(shù)；

方法介紹

牛頓迭代法的原理較為復(fù)雜，因此不在這里寫出來。
對(duì)比這牛頓迭代法方法與梯度下降法的參數(shù)更新公式可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法不同在于牛頓法中多了一項(xiàng)二階導(dǎo)數(shù)，這項(xiàng)二階導(dǎo)數(shù)對(duì)參數(shù)更新的影響主要體現(xiàn)在改變參數(shù)更新方向上。

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